Topoloji tam bir  tanımıyla soyut  kümeler ailesi üzerinde  verilmiş bir  kuralı
tanımlar, bu kural soyut kümelerin açıklık yada  kapalılık  özelliklerini içerir
ve bu kuralların  bulunduğu uzaylara bir  topoloji yada bir  topolojik uzay  adı
verilir. Topolojinin  3b  geometri  ile  doğrudan  bir  bağlantısı  bulunmamakla
birlikte   diferansiyel   geometri   ve   cebirsel   geometri   gibi   matematik
disiplinleri üzerinden  bu bağlantı  sağlanır.  Topoloji nin  etimolojik  kökeni
Latince uzay  anlamına  gelen  topos  (bu arada  lat.  topos  kelimesinin  bizim
dilimizde birebir  anladığımız  uzay kelimesini  tam  anlamıyla  karşılamadığını
düşünmekteyim) ve bilim anlamına gelen logos  kelimelerinden oluşur. Yine de  bu
uzayın  bizim  günlük  kullanımda  anladığımız  uzayı  kastetmediğini  belirtmem
lazım, örneğin  matematiksel  anlamda sayı  doğrusu  adı verdiğimiz  reel  eksen
yani üzerinde reel  sayıların olduğu  doğru bir uzaydır  ve bu  uzaya reel  uzay
adı verilir. Ben bu reel uzayda  bir kural tanımlayabilirim  (örneğin (a,b) gibi
aralıklar  açık  kümeler  olsun  gibi.)  ve  bu  kuralıma  uyan  tüm   kümelerin
oluşturduğu kümeye, gerekli  topolojik aksiyomları da  sağladığı zaman  topoloji
adını veririm. Bu aynı zamanda  bir boyutlu (hailz to  anes:) ) reel uzay  adını
alır,  istersem  bu  şekilde  iki   doğruyu  dik  olarak  kesiştirip   kartezyen
koordinat sistemi adını  vereceğim bir  sistem tanımlarım  (isteğe bağlı  olarak
eğik olarak da  kesiştirip kartezyen  olmayan bir  sistem tanımlayabilirdim  ama
burada pratik  olması açısından  bunu görmezden  gelelim)  ve bu  uzay |R  x  |R
sıralı  ikililerinden   oluşan   bir   kümedir,   bunu   kısaca   |R²   ile   de
gösterebilirim. Şimdi  bu  küme  üzerinde bir  kural  tanımlayabilirim  (örneğin
(a,b]x(a,b] lerden oluşan kutucuklar açık kümeler olsun) ve bu kurala göre  yine
yukarıda  belirtildiği  gibi  topolojimi  oluşturabilirim.  (Kartezyen)   çarpım
uzaylarında tanımlanan bu topolojiler kartezyen anlamda  kutucuklardan  oluştuğu
zaman bunlara kutu topolojisi adı verilir. Ancak benim  topolojilerimin ille  bu
şekilde olması  gerekmez  (örneğin  kural  {1}x(a,b)  şeklindeki  çizgiler  açık
kümeler olsun),  kutu topolojisi  olmadığı  halde kartezyen  çarpımlı  uzaylarda
tanımlanmış topolojilere  çarpım topolojisi  adı verilir  ( çarpım  topolojileri
yine derin bi konudur  bu konuda varlığı  bence çok manasız  gelen bir ?  (büyük
pi harfi) şeklinde  izdüşüm (projeksiyon)  fonksiyonu vardır.  Neyse daha  ileri
gidip |R^3  ,  |R^4,  ...  şeklinde istediğim  boyutta  çarpım  uzayları  ve  bu
uzaylar üzerinde topolojiler tanımlayabilirim.  Burada son  bir ayrıntı daha var
bu da  sonsuz  boyutlu  topolojik uzayların  özellikleri  hakkında.  Aslında  bu
topoloji ile  değil daha  çok kümeler  teorisi  hakkında o  da şöyle  ki  sonsuz
boyutu   tanımlamak   için    sonsuz   bir    kartezyen   çarpımın    tanımlanıp
tanımlanamayacağı konusu. Bu  konuda bir matematikçi  bu kartezyen çarpımın  var
olabileceğini kabul  ederek, tümevarım  yoluyla  bu çarpımı  oluşturan  herhangi
bir kümenin boş  küme olması durumunda  çarpımın sonucunun da  boş küme  olacağı
aksi halde bildiğimiz  alışıldık şekilde  kümenin tanımlanabileceğini  söylüyor.
Burada bir ispat yerine sadece bir kabul söz konusu, en  azından benim  bildiğim
elle tutulur bir ispat  yok sadece kümelerin  sonsuz kartezyen  çarpımlarının da
var olabileceği  kabul edilmiş.  Buraya  kadar anlatılanlar  topolojinin  teorik
matematikle ilgili kısımları,  ilginç gelebilir ama  topolojinin dolaylı  yoldan
geometriler  üzerinde   uygulamaları   var.   Dolayısıyla   ucundan   uygulamalı
matematik  de  topolojiye  bulaşmış  durumda.  Bu  uygulamalardan  en   bilindik
örneklerden  birisi  düğüm  kuramı.  Düğüm  kuramı  kapalı  bir  ipte  (iki  ucu
birleştirilmiş, paket lastiği gibi) hangi türden  düğümlerin  açılabileceği yada
açılamayacağını  inceliyor.  Mantıksal  açıdan  zaten  düğümsüz  ve  kapalı  bir
ilmeğe (lastiğe) yapılacak her dönüşümle elde edilecek  düğüm  (aslında düğümden
burada kastedilen  iplerin  üzerine  binmesi  sonucu  oluşan  karmaşık  yapılar)
görünüş  olarak  ne  kadar  karmaşık  olursa  olsun  çözülebilirdir.  Ancak  ben
lastiği kesip bildiğimiz  bi düğüm attıktan  sonra yeniden birleştirebilirim  ve
bu lastik  kapalıyken  açılamayacak bir  düğüm  olur. Çok  ayrıntılı  bilmemekle
birlikte yanlış  hatırlamıyorsam eğer  ilmek üzerinde  ipin birbirini  üzerinden
geçerek kestiği  noktalara bakarız,  eğer  bu noktalarda  aynı tel  iki  noktada
birden  üstten  geçiyorsa  o  zaman   bu  düğüm  çözülebilirdir,  daha   doğrusu
topolojik anlamda  hiç düğüm  atılmamış ilmeğe  eşdeğerdir. Örneğin  bu tür  bir
yapıya  1  adını  verelim.  Daha  sonra  düğüm  karmaşıklaştırılabilir,  örneğin
bildiğimiz basit düğümde her  tel bir alttan  bir de üstten  geçer ve iki  komşu
ilmekte hiçbir  ip  aynı  anda üstten  geçmemektedir.  Bu  oluşturulabilecek  en
basit düğümdür  ve  bu yapıya  da  2 adını  verelim.  Düğümler  karmaşıklaştıkça
numaralandırmaya  devam  edebiliriz.  Şimdi   elimizde  bize  nası   yapıldığını
bilmediğimiz bir düğüm  verildiğinde bunun çözülebilir  olup olmadığını  (bundan
sonra  çözülebilirlik   yerine   1   numaralı  yapıya   denk   olup   olmadığını
araştıracaz)  yada  en  sadeleştirilmiş  şekliyle  hangi  yapıya  denk  olduğunu
araştırabiliriz. Bundan  başka  cebirsel  geometri ile  topolojinin  de  ucundan
bulaştığı graf teori  adı verilen  bir matematik  disiplini daha  vardır, bu  da
çoğumuzun bildiği oklidyen iki boyutlu düzlemde verilmiş bir  haritanın  en az 4
renk kullanılarak  boyanabileceği probleminin  ait olduğu  matematik  konusudur.

Hazır  matematikten   konu   açılmışken  belki   bi   ara  Cantor   ve   Russell
paradokslarına da değinip matematiğin acaba gerçekten de  yeterince sağlam  olup
olmadığını tartışabilirim bi ara vakit olursa...
[b]Erik/Resident[/b] 